Definición

Se define como

$$\sum_{i=1}^{n} a_{i} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdots + a_{n}$$

Esta forma de expresión matemática nos ayuda a resumir la escritura de series de sucesiones matemáticas, las cuales puede ser finitas o infinitas como:

• Finita : $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_{i} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + ... + a_{n}$

• Infinita : $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_{i} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + ...$

Ahora si se quiere representar la suma de los primeros 100 números enteros se escribe:

$$\sum_{i=1}^{100} x = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots + 99 +100$$

sum(1:100)

[1] 5050

x=c(3.4 + 4.2 + 2.5 + 4.1 + 3.0 + 4.2 + 4.7 + 3.3 + 4.5 + 5.0 + 2.5 + 4.8)
sum(x)/12

[1] 3.85

Propiedades

• $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} k = nk$,

• $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} kx_{i} = k \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_{i}$,

• $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} (ax_{i}+by_{i}) = a\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_{i} + b\displaystyle\sum_{i=1}^{n} y_{i}$

donde $k$, $a$ y $b$ son constantes y $x_i$ y $y_{i}$ corresponden a lod terminod i-esimo de los conjuntos de datos

Problemas propuestos

1. Calcular las siguientes sumatorias:

1. $\displaystyle\sum_{i=1}^{10} (3i+5)$

2. $\displaystyle\sum_{t=0}^{2} 2^{t}$

3. $\displaystyle\sum_{w=0}^{6} 3w^{2}$

2. Para los siguientes conjuntos de datos:

x = c(3.6, 3.5, 3.6, 3.5, 3.0, 4.0, 3.2, 3.8, 3.5, 3.3, 3.4, 3.8, 3.4, 3.4, 3.1)
y = c(3.4, 4.3, 4.5, 4.1, 4.5, 4.1, 3.4, 4.0, 4.2, 4.6, 3.5, 3.8, 4.5, 3.5, 4.1)

Determine los valores de :

1. $\displaystyle\sum_{i=1}^{15} x_{i}$

2. $\displaystyle\sum_{w=1}^{15} y_{i}$

3. $\dfrac{1}{14}\displaystyle\sum_{i=1}^{15}(y_{i}-4.0)^{2}$

4. $\displaystyle\sum_{i=1}^{15} (x_{i}-3.5)$

5. $\dfrac{1}{14}\displaystyle\sum_{i=1}^{15}(x_{i}-3.5)(y_{i}-4.0)$

6. $\displaystyle\sum_{i=1}^{15} \dfrac{(x_{i}-3.5)(y_{i}-4.0)}{(x_{i}-3.5)^{2}}$

Definición

Se define como:

$$\displaystyle\prod_{i=1}^n a_{i} = a_1 \times a_2 \times a_3 \times \cdots \times a_n$$ El operador consiste en multiplicar un numero de veces establecido los términos $a_i$ Una de las aplicaciones más conocida de la productoria son los números factoriales

$$n! = \displaystyle\prod_{i=1}^n i = 1 \times 2 \times 3 \cdots \times n$$
Este operador también se utiliza para multiplicar funciones, matrices como por ejemplo:

$$\displaystyle\prod_{i=1}^n f(x_i) = f(x_1) \times f(x_2) \times f(x_3) \cdots \times f(x_n)$$
Para el caso de $f(x) = \exp\{x\}$ tenemos:

$$\displaystyle\prod_{i=1}^n \exp\{x_i\} = \exp\{x_1\} \times \exp\{x_2\} \times \exp\{x_3\} \cdots \times \exp\{x_n\}$$

Al tener la misma base con diferente exponente, el resultado se obtiene al colocar la misma base y sumar los exponentes,

$$\exp\{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_{i}\}$$

prod(1:10)

[1] 3628800

Problemas propuestos

1. $\displaystyle\prod_{k=1}^{20} 2^{k}$
   
   
2. $\displaystyle\prod_{i=1}^{20} k 2^{k}$
   
   
3. $\displaystyle\prod_{i=1}^n f(x_{i})$ para las siguientes funciones:

1. $f(x) = \dfrac{1}{60}$

2. $f(x_{i}) = \dfrac{1}{x_{i}}$

3. $f(x_{i} = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\{\frac{1}{2}x^{2}\}$