Guía 0.1




Sumatoria

El sumatorio o sumatoria también conocida como operador de suma, notación sigma o símbolo de suma, es una notación matemática que permite representar una suma de varios sumandos, n o incluso infinitos sumandos son colocar puntos suspensivos. Se expresa mediante la letra sigma mayúscula.

Wikipedia

Este operador será utilizado en el curso en la construcción de conceptos como media aritmética, varianza, covarianza, correlación, estimación de los coeficientes del modelo de regresión entre otros



Definición

Se define como

\[\sum_{i=1}^{n} a_{i} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdots + a_{n}\]

Esta forma de expresión matemática nos ayuda a resumir la escritura de series de sucesiones matemáticas, las cuales puede ser finitas o infinitas como:

  • Finita : \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_{i} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + ... + a_{n}\)

  • Infinita : \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_{i} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + ...\)

Ahora si se quiere representar la suma de los primeros 100 números enteros se escribe:

\[\sum_{i=1}^{100} x = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots + 99 +100\]

sum(1:100)
[1] 5050



Ejemplo 1:

Si se tienen las notas de un examen de 12 estudiantes como:

3.4, 4.2, 2.5, 4.1, 3.0, 4.2, 4.7, 3.3, 4.5, 5.0, 2.5, 4.8

Y se desea calcular la media de las notas, primero se deben sumar todas las notas y el resultado dividirlo por el numero de notas.

\[\bar{x} = \dfrac{1}{12}\displaystyle\sum_{i=1}^{12} x_{i}\] En este caso \(3.4\) representa el primer termino de la suma \(x_1\) , el segundo término \(x_2 = 4.2\), asi, hasta el final donde \(4.8\) representa \(x_{12}\). Lo cual equivale a :

\[\dfrac{(3.4 + 4.2 + 2.5 + 4.1 + 3.0 + 4.2 + 4.7 + 3.3 + 4.5 + 5.0 + 2.5 + 4.8)}{12}=\dfrac{46.2}{12}\]

x=c(3.4 + 4.2 + 2.5 + 4.1 + 3.0 + 4.2 + 4.7 + 3.3 + 4.5 + 5.0 + 2.5 + 4.8)
sum(x)/12
[1] 3.85



Propiedades

  • \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} k = nk\),

  • \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} kx_{i} = k \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_{i}\),

  • \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} (ax_{i}+by_{i}) = a\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_{i} + b\displaystyle\sum_{i=1}^{n} y_{i}\)

donde \(k\), \(a\) y \(b\) son constantes y \(x_i\) y \(y_{i}\) corresponden a lod terminod i-esimo de los conjuntos de datos



Ejemplo 2:

\(\displaystyle\sum_{i=1}^{5} 3 = 15\), ¿ Porqué ?



Ejemplo 3:

\(\displaystyle\sum_{i=1}^{10} 10x = 550\), ¿ Porqué ?



Ejemplo 4:

\(\displaystyle\sum_{i=1}^{10} (3x_{i}+2y_{i}) =475\), ¿ Porqué ?

donde \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10} x_{i} =55\) y \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10} y_{i}=155\)



Problemas propuestos

  1. Calcular las siguientes sumatorias:

  1. \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10} (3i+5)\)

  2. \(\displaystyle\sum_{t=0}^{2} 2^{t}\)

  3. \(\displaystyle\sum_{w=0}^{6} 3w^{2}\)

  1. Para los siguientes conjuntos de datos:
x = c(3.6, 3.5, 3.6, 3.5, 3.0, 4.0, 3.2, 3.8, 3.5, 3.3, 3.4, 3.8, 3.4, 3.4, 3.1)
y = c(3.4, 4.3, 4.5, 4.1, 4.5, 4.1, 3.4, 4.0, 4.2, 4.6, 3.5, 3.8, 4.5, 3.5, 4.1)

Determine los valores de :

  1. \(\displaystyle\sum_{i=1}^{15} x_{i}\)

  2. \(\displaystyle\sum_{w=1}^{15} y_{i}\)

  3. \(\dfrac{1}{14}\displaystyle\sum_{i=1}^{15}(y_{i}-4.0)^{2}\)

  4. \(\displaystyle\sum_{i=1}^{15} (x_{i}-3.5)\)

  5. \(\dfrac{1}{14}\displaystyle\sum_{i=1}^{15}(x_{i}-3.5)(y_{i}-4.0)\)

  6. \(\displaystyle\sum_{i=1}^{15} \dfrac{(x_{i}-3.5)(y_{i}-4.0)}{(x_{i}-3.5)^{2}}\)



Productoria

El productorio o productoria, también conocido como multiplicatorio, multiplicatoria o simplemente producto es una notación matemática que representa una multiplicación de una cantidad arbitraria finita o infinita.

Wikipedia

Este operador será utilizado para desarrollar el método de estimación de Máxima Verosimilitud, soporte de la inferencia estadística abordado en la Unidad 4.1 del Módulo 4.




Definición

Se define como:

\[\displaystyle\prod_{i=1}^n a_{i} = a_1 \times a_2 \times a_3 \times \cdots \times a_n\] El operador consiste en multiplicar un numero de veces establecido los términos \(a_i\) Una de las aplicaciones más conocida de la productoria son los números factoriales

\[n! = \displaystyle\prod_{i=1}^n i = 1 \times 2 \times 3 \cdots \times n\]
Este operador también se utiliza para multiplicar funciones, matrices como por ejemplo:

\[\displaystyle\prod_{i=1}^n f(x_i) = f(x_1) \times f(x_2) \times f(x_3) \cdots \times f(x_n)\]
Para el caso de \(f(x) = \exp\{x\}\) tenemos:

\[\displaystyle\prod_{i=1}^n \exp\{x_i\} = \exp\{x_1\} \times \exp\{x_2\} \times \exp\{x_3\} \cdots \times \exp\{x_n\}\]

Al tener la misma base con diferente exponente, el resultado se obtiene al colocar la misma base y sumar los exponentes,

\[\exp\{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_{i}\}\]



Ejemplo 1:

Encontrar la multiplicación de los 10 primeros números

\[\displaystyle\prod_{x=1}^n x = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 \times 10 \]

prod(1:10)
[1] 3628800



Problemas propuestos

  1. \(\displaystyle\prod_{k=1}^{20} 2^{k}\)

  2. \(\displaystyle\prod_{i=1}^{20} k 2^{k}\)

  3. \(\displaystyle\prod_{i=1}^n f(x_{i})\) para las siguientes funciones:

  1. \(f(x) = \dfrac{1}{60}\)

  2. \(f(x_{i}) = \dfrac{1}{x_{i}}\)

  3. \(f(x_{i} = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\{\frac{1}{2}x^{2}\}\)